เเบบฝึกหัดของปริซึม

จงหาปริมาตร

                                         

                                           1.

                                                2.

3. ปีบน้ำมันพืชทรงสี่เหลี่ยมใบหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ  ปีบสูง  เซนติเมตร บรรจุน้ำมันพืชเต็มปีบ ถ้าแบ่งน้ำมันพืชใส่ถุง  ถุงละ  ลิตร จนหมดปีบ จะได้น้ำมันพืชอย่างมากกี่ถุง

ตอบ

4. ถ้าอากาศ  ลูกบาศก์เซนติเมตรหนัก  กรัม จงหาน้ำหนักของอากาศซึ่งอยู่ในห้องที่ยาว  เมตร กว้าง  และสูง 

ตอบ

 อ่างเก็บน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว  เมตร และกว้าง  เมตร ถ้าต้องการเก็บน้ำไว้ในอ่าง  ลูกบาศก์เมตร ระดับน้ำต้องสูงจากก้นอ่างเท่าไร

ตอบ

5. พิชัยต้องการซื้อที่ดินมาถมสนามหญ้าหน้าบ้านซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง  เมตร ยาว  เมตร โดยยกระดับสูงกว่าระดับเดิม เซนติเมตร ถ้ารถบรรทุกดินคันหนึ่งมีกระบะบรรทุกยาว  เมตร กว้าง  เมตร สูง  จะต้องซื้อดินอย่างน้อยกี่คัน

ตอบ

พื้นที่เเละปริมาตรของปริซึม

พื้นที่เเละปริมาตรของปริซึม

1. การเรียกชื่อปริซึม

ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้นๆ การเรียกชื่อปริซึมนิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน

2. ส่วนประกอบของปริซึม

3. พื้นที่ผิวของปริซึม

3.1) พื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง

3.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

4. ปริมาตรของปริซึม

ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

Ex.1 ปริมาตรของปริซึม   พื้นที่ฐาน  สูง

  ลูกบาศก์เซนติเมตร

Ex.2 ปริมาตรของปริซึม   พื้นที่ฐาน  สูง

 ลูกบาศก์เซนติเมตร

แบบฝึกหัด เรื่อง พีระมิด

แบบฝึกหัด

เรื่อง พีระมิด

1. พีระมิดสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีฐานกว้าง 6 เซนติเมตร ยาว 8 เซนติเมตร และมีส่วนสูงยาวเท่ากับเส้นทแยงมุมของฐานมีปริมาตรเท่ากับกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร

ก. 160                    ข. 165.5                                ค. 170                    ง. 175.5

2. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีฐานยาวด้านละ 26 เซนติเมตร สูง 84 เซนติเมตร พื้นที่ผิวของพีระมิดนี้เท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร

                ก. 5,000                                ข. 5,096                                ค. 5,250                                ง. 5,604

3. พีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า มีความยาวรอบฐานเท่ากับ 36 เซนติเมตร มีสันยาว 10 เซนติเมตร มีพื้นที่ผิวประมาณกี่ตารางเซนติเมตร

                ก. 203.5                                ข. 204.8                                ค. 205.2                                ง. 206.4

4. พีระมิดฐานห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีฐานยาวด้านละ 14 หน่วย และมีสันยาว 25 หน่วย มีพื้นที่ผิวข้างเท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร

                ก. 720                    ข. 780                    ค. 840                    ง. 860

5. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปหนึ่ง ถ้าด้านกว้าง ด้านยาวของฐาน และส่วนสูงของพีระมิดยาวเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าของความยาวเดิมแล้ว ปริมาตรของพีระมิดรูปใหม่จะเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์

                ก. 800%                ข. 700%                ค. 600%                ง. 500%

6.ข้อใดต่อไปนี้คือความหมายของพีระมิด

ก.รูปเรขาคณิต 2 มิติ มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมเท่านั้น

ข.รูปเรขาคณิต 3 มิติ ที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ

ค. รูปเรขาคณิคที่มียอดแหลมอยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน

ง.รูปเรขาคณิตมีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม

7.พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปด้านเท่า มุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากันและส่วนสูงตั้งฉากกับฐาน   คือลักษณะของพีระมิดประเภทใด

ก.พีระมิดตรง

ข.พีระมิดสูง

ค .พีระมิดเอียง

ง.พีระมิดด้านเท่า

8.พีระมิดสูง 3 เซนติเมตรมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ซึ่งมีด้านยาวด้านละ 10 เซนติเมตร จะมีปริมาตรกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร

ก.145  ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข.130  ลูกบาศก์เซนติเมตร

ค.120 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ง.100  ลูกบาศก์เซนติเมตร

9.ปริมตราของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งเท่ากับ 48 ลูกบาศก์เซนติเมตร และฐานยาวด้านละ 6 เซนติเมตร จงหาความสูงของพีระมิด

ก. 6  เซนติเมตร

ข. 5  เซนติเมตร

ค.4  เซนติเมตร

ง.3 เซนติเมตร

10. พีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสอันหนึ่งมีปริมาตร 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร มีความสูง 12 เซนติเมตร จงหาความยาวของฐานพีระมิด

ก. 3  เซนติเมตร

ข. 5  เซนติเมตร

ค.10  เซนติเมตร

ง. 15 เซนติเมตร

พื้นทีเเละปริมาตรของพีระมิด

พีระมิด

1. การเรียกชื่อพีระมิด

การเรียกชื่อพีระมิด นิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน ตัวอย่างเช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยม เป็นต้น

 2. ส่วนประกอบของพีระมิด

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง

พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐานเป็นระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง

*ข้อสังเกต

1) พีระมิดตรงจะมีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่า และมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน

2) พีระมิดตรงที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน

3) ส่วนสูงของพีระมิดตรงใดๆ จะตั้งฉากกัับฐาน ที่จุดซึ่งอยู่่ห่างจากมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐาน เป็นระยะเท่ากัน

4) พีระมิดที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน

3. การหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิด

การจะหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดได้นั้น ควรจะหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิดให้ได้เสียก่อน

** การหาความยาวด้านต่างๆ มักใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

3.1) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดความยาวสัน

Ex.1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นี้ว สันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียงวิธี

ทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

กำหนดให้ AC เป็นสันยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 6 ÷ 2 = 3 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC

AB2 + 32 = 52

AB2 = 52 – 32

AB2 = 16
AB = 4

ตอบ สูงเอียงยาว 4 นิ้ว

4. พื้นที่ผิวของพีระมิด

4.1) พื้นที่ผิวข้าง

เมื่อคลี่พีระมิดออกมา จะได้เป็นรูป

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ได้แก่พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิด (ไม่รวมฐาน)

หรือก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน นั่นเอง

จาก สูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = ½ × ฐาน × ความสูง

ดังนั้น

สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง

* ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)

จะได้ว่า

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

พิสูจน์

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด

= พื้นที่สามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน

= (พื้นที่สามเหลี่ยม 1 ด้าน) × จำนวนด้านของฐาน —- จำนวนรูปสามเหลี่ยม จะเท่ากับจำนวนเหลี่ยมหรือด้านของฐาน

= (½ × ฐาน × สูงเอียง) × จำนวนด้านของฐาน

= ½ × [จำนวนด้านของฐาน x ฐาน] x สูงเอียง

↓

= ½ × [ความยาวรอบฐาน] x สูงเอียง

ซตพ.

4.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด

ดังนั้น

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

สรุป

1) พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด

และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด

2) สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง

3) ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

4) สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

5. ปริมาตรของพีระมิด

ปริมาตร คือ ปริมาณที่วัด เพื่อวัดบริเวณที่ว่าง (ความจุ) ภายในรูปทรงสามมิติ

การวัดปริมาตรของรูปทรงสามมิติใช้หน่วยวัดเป็นลูกบาศก์หน่วย